Teoria liczb: Odsłanianie liczb pierwszych i ich rola we współczesnej kryptografii

Teoria liczb, często uważana za "królową matematyki", to gałąź matematyki czystej poświęcona głównie badaniu liczb całkowitych i ich właściwości. Chociaż może wydawać się abstrakcyjna, teoria liczb leży u podstaw wielu zastosowań w świecie rzeczywistym, zwłaszcza w dziedzinie kryptografii. Niniejszy artykuł omawia podstawowe pojęcia teorii liczb, w szczególności liczby pierwsze, i ilustruje ich kluczową rolę w zabezpieczaniu naszego cyfrowego świata.

Czym jest teoria liczb?

Teoria liczb obejmuje szeroki wachlarz tematów, w tym:

• Podzielność i liczby pierwsze
• Kongruencje i arytmetyka modularna
• Równania diofantyczne
• Algebraiczna teoria liczb
• Analityczna teoria liczb

U podstaw teoria liczb bada właściwości i relacje liczb całkowitych. Jej eleganckie dowody i nieoczekiwane powiązania z innymi dziedzinami matematyki i informatyki sprawiają, że jest to fascynujący temat.

Liczby pierwsze: bloki budulcowe liczb całkowitych

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która nie ma dodatnich dzielników innych niż 1 i ona sama. Przykłady liczb pierwszych to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i tak dalej. Liczby, które nie są pierwsze, nazywane są liczbami złożonymi.

Liczby pierwsze są fundamentalne, ponieważ są one blokami budulcowymi wszystkich innych liczb całkowitych. Fundamentalne Twierdzenie Arytmetyki mówi, że każda liczba całkowita większa od 1 może być jednoznacznie wyrażona jako iloczyn liczb pierwszych, z dokładnością do kolejności czynników. Na przykład:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

Ta unikalna faktoryzacja na liczby pierwsze jest fundamentem, na którym zbudowanych jest wiele algorytmów kryptograficznych.

Znajdowanie liczb pierwszych

Identyfikacja liczb pierwszych fascynuje matematyków od wieków. Istnieje kilka metod znajdowania liczb pierwszych, w tym:

• Dzielenie próbne: Podziel liczbę n przez wszystkie liczby całkowite od 2 do √n. Jeśli żaden z nich nie dzieli n równomiernie, to n jest liczbą pierwszą. Jest to proste, ale nieskuteczne dla dużych liczb.
• Sito Eratostenesa: Wydajny algorytm znajdowania wszystkich liczb pierwszych do określonej liczby całkowitej. Działa poprzez iteracyjne zaznaczanie wielokrotności każdej liczby pierwszej, zaczynając od pierwszej liczby pierwszej, 2.
• Testy pierwszości: Bardziej wyrafinowane algorytmy, takie jak test pierwszości Millera-Rabina (test probabilistyczny) i test pierwszości AKS (test deterministyczny), są używane do określania, czy bardzo duże liczby są pierwsze.

Rozkład liczb pierwszych

Liczby pierwsze nie są rozłożone równomiernie wśród liczb całkowitych. Wraz ze wzrostem liczb gęstość liczb pierwszych maleje. Twierdzenie o liczbach pierwszych daje asymptotyczne oszacowanie liczby liczb pierwszych mniejszych lub równych danej liczbie x, oznaczone przez π(x):

π(x) ≈ x / ln(x)

Twierdzenie to daje wgląd w długoterminowe zachowanie rozkładu liczb pierwszych.

Kryptografia: Zabezpieczanie informacji za pomocą liczb pierwszych

Kryptografia to praktyka i badanie technik bezpiecznej komunikacji w obecności przeciwników. Współczesna kryptografia w dużym stopniu opiera się na pojęciach matematycznych, a liczby pierwsze odgrywają kluczową rolę w wielu algorytmach szyfrowania.

Bezpieczeństwo wielu systemów kryptograficznych opiera się na trudności obliczeniowej pewnych problemów teorii liczb, w szczególności problemie faktoryzacji liczb pierwszych i problemie logarytmu dyskretnego. Problemy te są uważane za „trudne”, ponieważ nie są znane żadne wydajne (wielomianowe) algorytmy rozwiązujące je na klasycznych komputerach.

RSA: Kamień węgielny kryptografii klucza publicznego

Algorytm RSA (Rivest-Shamir-Adleman) jest jednym z najczęściej używanych systemów kryptograficznych z kluczem publicznym. Jego bezpieczeństwo opiera się na trudności faktoryzacji dużych liczb złożonych na ich czynniki pierwsze.

Oto uproszczony przegląd działania RSA:

1. Generowanie klucza:
   • Wybierz dwie różne duże liczby pierwsze p i q.
   • Oblicz n = p × q. To jest moduł.
   • Oblicz φ(n) = (p - 1) × (q - 1), gdzie φ jest funkcją totientu Eulera.
   • Wybierz liczbę całkowitą e taką, że 1 < e < φ(n) i nwd(e, φ(n)) = 1 (e i φ(n) są względnie pierwsze). e jest wykładnikiem publicznym.
   • Oblicz d, modularną odwrotność multiplikatywną e modulo φ(n). To znaczy, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d jest wykładnikiem prywatnym.
   • Klucz publiczny to (n, e).
   • Klucz prywatny to (n, d).
2. Szyfrowanie:
   • Aby zaszyfrować wiadomość m (reprezentowaną jako liczba całkowita), oblicz c = m^e mod n, gdzie c jest szyfrogramem.
3. Deszyfrowanie:
   • Aby odszyfrować szyfrogram c, oblicz m = c^d mod n.

Bezpieczeństwo RSA zależy od faktu, że obliczeniowo trudno jest rozłożyć dużą liczbę n na jej czynniki pierwsze p i q, zwłaszcza gdy p i q są wystarczająco duże (setki lub tysiące cyfr). Jeśli atakujący mógłby rozłożyć n, mógłby łatwo obliczyć φ(n), a następnie określić klucz prywatny d.

Przykład: Załóżmy, że wybieramy p = 61 i q = 53.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• Wybierzmy e = 17 (względnie pierwsze z 3120).
• Musimy znaleźć d takie, że (17 * d) mod 3120 = 1. Używając Rozszerzonego Algorytmu Euklidesa, znajdujemy d = 2753.
• Klucz publiczny: (3233, 17)
• Klucz prywatny: (3233, 2753)

Jeśli chcemy zaszyfrować wiadomość m = 123, to:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

Aby odszyfrować:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

Ten przykład używa małych liczb do ilustracji. Prawdziwe implementacje RSA używają znacznie większych liczb pierwszych, aby zapewnić bezpieczeństwo.

Wymiana kluczy Diffiego-Hellmana

Wymiana kluczy Diffiego-Hellmana to protokół kryptograficzny, który pozwala dwóm stronom ustanowić wspólny tajny klucz za pośrednictwem niezabezpieczonego kanału. Ten wspólny tajny klucz może być następnie użyty do szyfrowania dalszej komunikacji za pomocą algorytmu klucza symetrycznego.

Bezpieczeństwo Diffiego-Hellmana opiera się na trudności problemu logarytmu dyskretnego, który jest związany z liczbami pierwszymi i arytmetyką modularną.

Oto uproszczone wyjaśnienie:

1. Alicja i Bob uzgadniają dużą liczbę pierwszą p i bazę g (gdzie g jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p). p i g są publiczne.
2. Alicja wybiera tajną liczbę całkowitą a i oblicza A = g^a mod p. Alicja wysyła A do Boba.
3. Bob wybiera tajną liczbę całkowitą b i oblicza B = g^b mod p. Bob wysyła B do Alicji.
4. Alicja oblicza wspólny tajny klucz s = B^a mod p.
5. Bob oblicza wspólny tajny klucz s = A^b mod p.

Zarówno Alicja, jak i Bob dochodzą do tego samego wspólnego tajnego klucza s, nie wymieniając nigdy swoich tajnych liczb całkowitych a i b bezpośrednio. Podsłuchujący, który zna p, g, A i B, musiałby rozwiązać problem logarytmu dyskretnego, aby obliczyć a lub b, a tym samym określić wspólny tajny klucz s.

Przykład: Załóżmy, że p = 23 i g = 5.

• Alicja wybiera a = 6. A = 5⁶ mod 23 = 8
• Bob wybiera b = 15. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• Alicja wysyła 8 do Boba, a Bob wysyła 19 do Alicji.
• Alicja oblicza s = 19⁶ mod 23 = 2
• Bob oblicza s = 8¹⁵ mod 23 = 2

Wspólny sekret to 2. Ponownie, rzeczywiste implementacje używają znacznie większych liczb pierwszych.

Kryptografia krzywych eliptycznych (ECC)

Kryptografia krzywych eliptycznych (ECC) to system kryptograficzny z kluczem publicznym oparty na algebraicznej strukturze krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi. ECC oferuje porównywalne bezpieczeństwo do RSA z mniejszymi rozmiarami kluczy, co czyni go odpowiednim dla środowisk o ograniczonych zasobach, takich jak urządzenia mobilne i systemy wbudowane. ECC opiera się również na teorii liczb i trudności problemu logarytmu dyskretnego krzywej eliptycznej.

W ECC, zamiast używać potęgowania modularnego, operacje kryptograficzne opierają się na arytmetyce krzywej eliptycznej (dodawanie punktów i mnożenie skalarne). Bezpieczeństwo ECC opiera się na fakcie, że obliczeniowo trudno jest rozwiązać problem logarytmu dyskretnego krzywej eliptycznej, który polega na znalezieniu skalarnej wielokrotności, która łączy dwa punkty na krzywej eliptycznej.

ECC jest szeroko stosowane w różnych zastosowaniach, w tym:

• Podpisy cyfrowe (np. ECDSA)
• Wymiana kluczy (np. ECDH)
• Szyfrowanie

Przyszłość kryptografii i liczb pierwszych

Trwający rozwój komputerów kwantowych stanowi poważne zagrożenie dla wielu obecnych algorytmów kryptograficznych. Algorytm Shora, algorytm kwantowy, może skutecznie rozkładać duże liczby i rozwiązywać problem logarytmu dyskretnego, skutecznie łamiąc RSA, Diffie-Hellmana i ECC.

W odpowiedzi na to zagrożenie naukowcy aktywnie rozwijają kryptografię postkwantową (PQC), która obejmuje algorytmy kryptograficzne, które uważa się za odporne na ataki zarówno ze strony komputerów klasycznych, jak i kwantowych. Wiele algorytmów PQC opiera się na innych problemach matematycznych niż te używane w RSA i ECC, takich jak kryptografia oparta na kratach, kryptografia oparta na kodach, kryptografia wielowymiarowa i kryptografia oparta na haszach.

Nawet w erze komputerów kwantowych teoria liczb, a w szczególności liczby pierwsze, prawdopodobnie nadal będzie odgrywać rolę w kryptografii. Na przykład liczby pierwsze mogą być używane w konstrukcji krat dla kryptografii opartej na kratach lub w projektowaniu funkcji skrótu dla kryptografii opartej na haszach.

Zastosowania w świecie rzeczywistym

Omówione zasady są wdrażane globalnie. Oto kilka różnorodnych przykładów:

• Bezpieczne transakcje online: Kiedy dokonujesz zakupów online za pomocą karty kredytowej, transakcja jest zwykle zabezpieczona za pomocą HTTPS, który opiera się na protokołach TLS/SSL. Protokoły te często używają RSA lub ECC do ustanowienia bezpiecznego połączenia między przeglądarką a serwerem internetowym, chroniąc Twoje poufne informacje przed podsłuchiwaniem.
• Podpisy cyfrowe: Podpisy cyfrowe służą do weryfikacji autentyczności i integralności dokumentów cyfrowych. Algorytmy takie jak RSA i ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) używają liczb pierwszych i arytmetyki modularnej do tworzenia podpisów cyfrowych, które są trudne do sfałszowania. Jest to używane do prawnie wiążących umów w krajach takich jak Singapur i weryfikacji dokumentów elektronicznych w Unii Europejskiej.
• Aplikacje do bezpiecznej komunikacji: Wiele aplikacji do przesyłania wiadomości, takich jak Signal i WhatsApp, używa szyfrowania end-to-end, aby chronić prywatność Twoich rozmów. Aplikacje te często używają wymiany kluczy Diffiego-Hellmana lub ECC do ustanowienia bezpiecznych kanałów komunikacji.
• Kryptowaluty: Kryptowaluty, takie jak Bitcoin, używają kryptografii krzywych eliptycznych (w szczególności ECDSA z krzywą secp256k1) do zabezpieczania transakcji i kontrolowania własności zasobów cyfrowych. Globalna dostępność i decentralizacja Bitcoina stanowią przykład szerokiego zastosowania tych zasad.
• VPN (Wirtualne sieci prywatne): VPN używają protokołów kryptograficznych do tworzenia bezpiecznych tuneli między Twoim urządzeniem a serwerem zdalnym, chroniąc Twój ruch internetowy przed przechwyceniem. VPN zwykle używają algorytmów takich jak AES (Advanced Encryption Standard) do szyfrowania symetrycznego oraz RSA lub ECC do wymiany kluczy. VPN są kluczowe dla bezpiecznego dostępu do Internetu w krajach z dużą cenzurą.
• Secure Shell (SSH): SSH to kryptograficzny protokół sieciowy, który umożliwia bezpieczny dostęp do zdalnych serwerów i zarządzanie nimi. SSH używa algorytmów takich jak RSA i ECC do uwierzytelniania i wymiany kluczy.

Wnioski

Teoria liczb, skupiająca się na liczbach pierwszych, to nie tylko abstrakcyjna dyscyplina matematyczna; jest fundamentalnym filarem współczesnej kryptografii. Od zabezpieczania transakcji online po ochronę poufnych informacji, liczby pierwsze odgrywają kluczową rolę w zapewnianiu poufności, integralności i autentyczności naszego cyfrowego świata. W miarę dalszego rozwoju technologii, współdziałanie teorii liczb i kryptografii pozostanie niezbędne do ochrony informacji i utrzymania zaufania w coraz bardziej połączonym społeczeństwie. Trwające badania i rozwój w kryptografii postkwantowej demonstrują zaangażowanie w zabezpieczanie naszej cyfrowej przyszłości w obliczu pojawiających się zagrożeń.

Dalsza nauka

• Książki:
  • "Wprowadzenie do teorii liczb" G.H. Hardy'ego i E.M. Wrighta
  • "Elementarna teoria liczb" Davida M. Burtona
  • "Teoria i praktyka kryptografii" Douglasa Stinsona i Maury Paterson
• Kursy online:
  • Coursera: Kryptografia I i II autorstwa Dana Boneha (Uniwersytet Stanforda)
  • edX: Wprowadzenie do kryptografii autorstwa Christofa Paara (Ruhr University Bochum)
• Strony internetowe:
  • Wikipedia: Teoria liczb, Liczba pierwsza, Kryptografia, RSA
  • Khan Academy: Teoria liczb